Singular perturbations and first order PDE on manifolds

In this Note we present some results concerning the concentration of sequences of first eigenfunctions on the limit sets of a Morse–Smale dynamical system on a compact Riemannian manifold. More precisely a renormalized sequence of eigenfunctions converges to a measure μ concentrated on the hyperbolic sets of the field. The coefficients which appear in the limit measure can be characterized using the concentration theory. In the second part, certain aspects of some first order PDE on manifolds are studied. We study the limit of a sequence of solutions of a second order PDE, when a parameter of viscosity tends to zero. We exhibit the role played by the limit sets of the vector fields.  2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Perturbations singulières et équations aux dérivées partielles du premier ordre sur des variétés Résumé. Dans cette Note, nous présentons des résultats de concentration d’une suite de fonctions propres associées à la première valeur propre sur les ensembles limites d’un système de type Morse–Smale, l’étude est réalisée sur une variété riemannienne compacte. Plus précisément, une suite renormalisée de fonctions propres converge vers une mesure μ concentrée sur les ensembles hyperboliques du champ de vecteurs. Les coefficients à la limite sont caractérisés en utilisant la théorie de la concentration. Dans une seconde partie, nous étudions certaines propriétés des solutions des EDP du premier ordre sur une variété. La limite d’une suite, solution d’une EDP du second ordre, est déterminée lorsqu’un paramètre de viscosité tend vers zéro. On met en évidence le rôle joué par les ensembles limites du champ de vecteurs.  2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Version française abrégée Soit (Vn, g) une variété riemannienne compacte. On s’intéresse ici à la première valeur propre et la première fonction propre de l’opérateur Lε = ε∆+ ∑n i=1 bi∂i + a, avec ∆g =−∇i∇, a est une fonction régulière et b est un champ de vecteurs de type Morse–Smale. Nous avons prouvé le résultat suivant : Note présentée par Thierry AUBIN. S0764-4442(01)02040-7/FLA  2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés 1 S0764-4442(01)02040-7/FLA AID:2040 Vol.333(0) P.2 (1-6) CRAcad 2001/05/17 Prn:25/07/2001; 11:01 F:PXMA2040.tex by:Au p. 2 D. Holcman, I. Kupka THÉORÈME 1. – Sur une variété compacte (Vn, g) de dimension n 2, soit Ω un champ de vecteurs de type Morse–Smale qui n’est pas un gradient et tel que l’ensemble récurrent consiste en l’union de points stationnaires P1, . . . , PM et d’orbites périodiques Γ1, . . . ,ΓN . Soient L une fonction de Lyapunov associée à Ω et b=Ω−∇L. Pour ε > 0, considérons λε, uε, respectivement la première valeur propre et la fonction propre associée à l’opérateur ε∆g + b∇+ a sur Vn. Alors l’ensemble des limites faibles quand ε tend vers zéro, de la famille normalisée de mesures euε dVg ∫ Vn euε dVg est contenué de mesures ν de la forme ν = ∑N j=1 μj + ∑M i=1 c 2 i δPi , où chaque μj est une mesure supportée par un cycle Γj de b, δPi est un Dirac en un point stationnaire Pi et les ci sont des constantes positives. L’approche de perturbations singulières permet aussi d’obtenir des résultats d’existence d’EDP linéaires et quasi linéaires sur les variétés riemanniennes et surtout de comprendre comment la géométrie de la variété détermine la solution. La méthode de viscosité a été très utilisée pour prouver des résultats d’existence sur des ouverts à bord. En général, la solution d’une EDP du premier ordre est déterminée par la propagation de la donnée au bord. Sans bord, l’information provient des points critiques du champ. Le second résultat s’énonce de la façon suivante : THÉORÈME 2. – Sur une variété compacte (Vn, g), on considère un champ de vecteurs de type Morse– Smale b et soient c une fonction positive vérifiant c(x) c0 > 0 et f une fonction différentiable. Sous ces hypothèses, l’EDP du premier ordre : 〈b,∇u〉+ cu= f sur Vn admet une solution u ∈ C(Vn) telle que |∇u| ∈ L∞(Vn). De plus, si l’ensemble récurrent associé au champ de vecteurs b(x) consiste en l’union d’un nombre fini de points P1, . . . , Pp, et si c0 est une constante suffisamment grande devant les valeurs propres de Db, alors u est l’unique solution W1,∞, appartenant à C(Vn − S) et est complètement déterminée par les valeurs u(Pi) = f(Pi)/c(Pi). Quand le champ b possède des cycles limites, la solution n’est pas unique et la limite de u le long des trajectoires convergentes vers un cycle limite n’existe pas. Dans le cas quasi linéaire, sous certaines hypothèses, on obtient des résultats du même type pour les solutions de 〈 b(u,x),∇u 〉 + c(u,x)u= f sur Vn.